SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El enunciado “Dos números sumas 12” se escribe así en lenguaje algebraico:

x + y = 12

Esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, es decir, existe un número infinito de valores x y y que la satisfacen; algunos de ellos son:

x = 0 y y = 12, porque 0 +12 =12
x = 8 y y = 4, porque 8 + 4 = 12
x = -3 y y -15, porque -3 + 15 = 12
Este enunciado “un número es el doble de otro” se expresa x = 2y. Tal ecuación también acepta una infinidad de soluciones. Por ejemplo:

Si dos números suman 12 y además uno es el doble del otro ¿Cuáles son esos números? Es decir, ¿Qué números satisfacen las ecuaciones x + y = 12 y x = 2y al mismo tiempo? En este caso, sólo una pareja (x, y) satisface simultáneamente ambas ecuaciones, esta pareja es (8,4).
A continuación se grafican en el plano los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación x + y = 12, y los puntos (x, y) que satisfacen la condición x = 2y:


Ambas rectas se cruzan en el punto de coordenadas (8, 4). Entonces los valores x = 8 y y = 4 satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones x + y = 12 y x = 2y.
Si se grafican dos rectas en el plano cartesiano, se presentará una de éstas tres posibilidades:

a) Las rectas se cortan en un punto. Por ejemplo, las gráficas de y = x+1 y y = -x + 3 se cortan en el punto de coordenadas (1, 2).
Para comprobar que los valores x = 1 y y = 2 satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones, se realiza una sustitución:

b) Las rectas son paralelas y, por lo tanto nunca se cortan. Por ejemplo, las rectas y . En este caso, no hay una solución común para estas ecuaciones.
c) Las rectas coinciden. Por ejemplo, las rectas y coinciden. En este caso, todos los puntos de la recta satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema de dos ecuaciones lineales.
La pareja de números que satisface simultáneamente ambas ecuaciones se llama solución del sistema.
Un sistema de ecuaciones puede tener una sola solución, una infinidad de ellas o no tener ninguna, dependiendo de si las rectas que representan a las ecuaciones se cortan, coinciden o son paralelas.