DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Imaginemos que debemos encontrar las coordenadas del punto P(x, y), si P divide al segmento AB en la razón r de tal manera que:

sabiendo que: A(-3, 1) y B(2, -3).

Primero es necesario que recordemos las dos maneras que existen para comparar dos cantidades: la distancia o resta y la razón.
Para entender el concepto de diferencia y razón, observa el siguiente ejemplo:
Leonel tiene 10 años y su papá 40. Si atiende la diferencia entre ambas edades, tenemos como resultado 30 años. Pero si se tiene la razón entre ambas edades, tenemos dos cocientes:

Es decir, el papá de Leonel tiene el cuádruple de la edad que su hijo o

es decir, Leonel tiene la cuarta parte de la edad de su papá.

La razón es la manera de comparar dos cantidades a través del cociente.
Cuando se tiene un segmento determinado por sus puntos extremos, cualquier punto entre ellos los divide en dos segmentos de igual o distinta longitud. En este caso compararemos las longitudes de estos segmentos a través de la razón.
Analicemos: ¿qué significa que r = 1?, o ¿Qué significa que r = 2?

Nótese que el punto Q divide en dos segmentos a

En cuanto a distancias, tenemos que:

Es decir, comparamos los segmentos

Así, r = 1 significa la comparación entre dos segmentos de igual longitud.
La expresión r = 2 significa que se están comparando dos segmentos, uno de los cuales tiene el doble de longitud que el otro. Observa en el plano cartesiano el siguiente ejemplo de esta comparación:







En general, para cualquier valor de r, las fórmulas para calcular las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón r dada son: