EL GEOMETRISMO

El arte, en contraste con la ciencia, no mejora ni se supera con el tiempo, lo que hace es adoptar nuevas formas, técnicas, motivos e intenciones que se adecuan al contexto del lugar donde se produce. Arnold Hauser, autor del célebre “Historia social de la literatura y el arte” afirma que el geometrismo, es decir, la representación estilizada y no fiel a la naturaleza fue el segundo estilo artístico (y no el primero, como suele creerse) imperante en la sociedad prehistórica. El geometrismo se guiaba por la abstracción y la simplificación: en lugar de representar un cuerpo humano detallado, lo simbolizaba con círculos y líneas que equivalían a su tronco, su cabeza y su8s extremidades; serio contraste con su antecesor, el naturalismo, que apostaba por la reproducción paciente de su modelo.
El cambio en el estilo artístico imperante está relacionado con la revolución social que ocurrió en este periodo, el Neolítico, lo cual condujo al sedentarismo, la agricultura y la domesticación de animales. Una de las implicaciones más importantes de esta expresión artística radica en el hecho de que el hombre se confronta con la naturaleza y deja de verla como una imagen continua de una esencia homogénea, pues comprende la diferencia entre las ideas y la realidad, el espíritu y el cuerpo, el alma y la forma, consecuencia de la creencia generalizada en el animismo, que atribuye poderes a los objetos de la naturaleza y asume la existencia de espíritus que animan todas las cosas.
En nuestros días, clasificar el arte contemporáneo en un estilo específico y con características delimitadas resulta tan complejo que, de hecho, no existe una palabra para definir el arte actual: conviven términos como posmodernismo y neo barroquismo, que son defendidos por los expertos en igualdad de proporciones.
Lo que sigue siendo cierto es que el empleo de figuras y motivos geométricos no ha cesado y sus implicaciones pueden darnos mucha idea de la forma de pensar del género humano. Vale la pena tomarse un tiempo para observar el Arte a nuestro alrededor y preguntarnos por sus motivaciones, su historia y su futuro.
Observa las representaciones artísticas de las siguientes imágenes y discutan su procedencia cultural y su fecha de creación.

¿Cuál te gustó más? ¿Cuál te gustó menos? ¿Por qué?

¿Crees que alguna sea de origen mexicano?

Realiza la siguiente actividad:

Escoge un edificio, una pintura, una artesanía algún otro objeto artístico que posea figuras geométricas o que emplee la geometría para su elaboración.
Investiga cuáles son sus propiedades como creación artística y por qué se le considera valiosa.
Realiza una búsqueda de información sobre cuáles elementos de la geometría se ocupan en su diseño, su comprensión y su descripción.

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA, ¿QUÉ ES Y POR QUÉ SE ESTUDIA?

La geometría analítica es la rama de la ciencia matemática encargada de estudiar los fenómenos geométricos a través del análisis, ya sea de manera sistemática o estableciendo de manera estrecha un vínculo con el álgebra.
Durante aproximadamente dos milenios, la Geometría Analítica se ha estudiado de manera sistemática a partir de la primera obra completa de este tema “Los elementos”, escrita por Euclides en el año 300 a. C. hasta el siglo XVII, la geometría se estudiaba mediante lo que se llamaba “método sintético” el cual estaba fundamentado en una estructura axiomática constituida por axiomas, postulados, definiciones, teoremas, corolarios y lemas. Dejando atrás las aplicaciones concretas, la resolución de problemas se posiciona como meta del aprendizaje matemático.
Una revolución de pensamiento, y en particular del pensamiento matemático a inicios del siglo XVII, dio como resultado un nuevo enfoque en el estudio de la Geometría, consistente en el uso de los métodos algebraicos para dar solución a problemas geométricos. René Descartes, filósofo y matemático Francés, estableció el nexo entre Geometría y Álgebra mediante los sistemas de coordenadas.

¿POR QUÉ SE ESTUDIA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA?

Una de las razones más importantes para el estudio de la Geometría Analítica es la potencia de sus métodos. Ciertos problemas pueden resolverse de una manera más rápida, directa y simple mediante los métodos analíticos. Esto es cierto no solamente para los problemas propios de la Geometría y de otras ramas de las matemáticas, sino también para una amplia variedad de aplicaciones de la Estadística, la Física, la Ingeniería y otros campos científicos y técnicos.
El uso de métodos algebraicos para resolver problemas geométricos permite generalizaciones fáciles. A menudo, un resultado que se obtiene para una o dos dimensiones puede generalizarse inmediatamente para tres o más.
Estudiar Geometría Analítica ofrece mayores posibilidades de comprender la coherencia del tema, la diversidad de los métodos y la amplia variedad de problemas a los que puede aplicarse esta disciplina.

PUNTOS EN EL PLANO

El siguiente es un sistema de coordenadas lineal:

Si localizamos sobre el sistema el punto Q, ubicado a tres unidades de distancia a la derecha del origen marcado por el punto O, y el punto R, ubicado a tres unidades de distancia a la izquierda de O, se representaría de la siguiente manera:

Observamos que los puntos R, O y Q sólo necesitan un valor para ubicar su posición sobre la recta numérica, es decir, su posición queda determinada por coordenadas con una entrada. La notación para simbolizar las coordenadas es la siguiente: R(-3), O(0) y Q(3), en donde las letras R, O y Q identifican los puntos, y los números entre paréntesis -3, 0 y 3 son las posiciones de esos puntos sobre la recta. A este tipo de puntos se les llama unidimensionales.

En general, un punto unidimensional P tiene su coordenada de la forma x, donde x representa la distancia del origen O hasta P, cuyo valor será negativo si P se encuentra a la izquierda de O, y positivo si está ubicado a su derecha. Además, el valor de x puede estar determinado por cualquier número real, a sea entero, racional o irracional.

EL PLANO CARTESIANO (CONCEPTOS BÁSICOS)

Un pirata escondió un tesoro en una isla desierta y escribió en un mapa las siguientes indicaciones para localizarlo:
“Partir del cocotero más alto del centro de la isla, caminar 10 pasos al norte, se llegará donde está una piedra redonda. Después avanzar 25 pasos al este, hasta la cascada. Con dirección al norte, caminar 5 pasos para llegar al árbol caído. Por último, avanzar 40 pasos hacia el Oeste hasta la cueva. El tesoro se encuentra enterrado ahí”.

Con indicaciones como las anteriores, es difícil encontrar el tesoro ¿cómo podría dar instrucciones más claras? Las respuestas es del matemático francés René Descartes (1596-1650); la dio hace casi 400 años, y fue la siguiente: es posible dar instrucciones claras con un sistema para ubicar puntos en un plano. La idea de descartes se llama “plano cartesiano” o “plano coordenado” y consiste en esto:
Se dibujan dos rectas numéricas perpendiculares, una de ellas horizontal. El punto de intersección de las rectas es el cero de ambas y se llama origen.

Cualquier punto del plano está determinado por una sola pareja de números (x, y). Estos números reciben el nombre de “coordenadas” del punto. Inversamente, cada pareja de coordenadas determina un solo punto en el plano.


En la figura anterior, el punto del plano marcado con la letra P tiene asignadas las coordenadas (3, 2). La primera coordenada se llama abscisa, y la segunda, ordenada. Las coordenadas se escriben siempre en le mismo orden; es decir, primero la abscisa y luego la ordenada.

La recta numérica horizontal se llama “eje de las abscisas” o “eje x”. A los puntos que pertenecen a esta recta les corresponden ordenadas iguales que cero. Por ejemplo, al punto 1 del eje x, les corresponden las coordenadas (1, 0) y al punto -2, las coordenadas (-2, 0).
La recta vertical se llama “eje de las ordenadas” o “eje y”. Las abscisas de los puntos de esta recta son cero. Por ejemplo, los puntos representados por (0, 1) y (0, 2) pertenecen al eje y.
Un punto de coordenadas (x, y) se localiza de la siguiente forma:

1. Se traza la recta vertical imaginaria que pase por el punto (x, 0).





2. Se traza la recta horizontal que pase por el punto (0, y). La intersección de las rectas es el punto buscado.
   

El punto de coordenadas (3, -5), es la intersección de la recta vertical que pasa por (3, 0) con la recta horizontal que pasa por (0, -5).
Mediante el plano cartesiano es más sencillo describir la ubicación del tesoro escondido del pirata. Tómese como el origen de coordenadas el lugar donde se encuentra el cocotero más alto del centro de la isla. Las indicaciones del mapa se pueden expresar así; A partir del punto de coordenadas (0, 0), seguir el trayecto que pasa por estos puntos: (0, 10), (25, 10), (25, 15) y, por último, (-15, 15). En el último punto se encuentra enterrado el tesoro.

REGIONES Y CONJUNTO DE PUNTOS

En esta lección se localizarán puntos que, por compartir ciertas características, forman regiones en el plano. Por ejemplo, los puntos del plano cuya abscisa es positiva, es decir, lo puntos del plano coordenados (x, y) tales que x>0 conforman una región del plano. Esta región se ilustra en la siguiente figura:

Cualquier punto con abscisa positiva está en la región; por ejemplo, los puntos de coordenadas (2, 4) y (5, -3).
Los puntos del plano cuyas abscisas y ordenadas son positivas, es decir, los puntos de coordenadas (x, y) con x>0 y y>0conforman la región sombreada de la siguiente figura. A esta región se le llama primer cuadrante del plano cartesiano. Por ejemplo, el punto de coordenadas (1, 2) está en el primer cuadrante.

• El segundo cuadrante o cuadrante II es la región formada por los punto de coordenadas (x, y) tales que x<0 y y>0.






• El tercer cuadrante o cuadrante III consta de los puntos (x, y), que cumplen que x<0 y y<0.






• El cuarto cuadrante o cuadrante IV está formado por los puntos (x, y) con x>0 y y<0.
  
  ¿Cuál es la región formada por los puntos de coordenadas (x, y) que satisfacen la condición x>3 y y es cualquier número? Es la zona constituida por los puntos que están a la derecha de la recta vertical que pasa por el punto (3, 0).
  ¿Cuál es la región formada por los puntos de coordenadas (x, y) tales que y <2? (el símbolo

significa mayor o igual.) Es la región que se encuentra a la derecha de la recta vertical que pasa por (-3, 0), incluida la recta, y por debajo de la recta horizontal que pasa por (0, 2).

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El enunciado “Dos números sumas 12” se escribe así en lenguaje algebraico:

x + y = 12

Esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, es decir, existe un número infinito de valores x y y que la satisfacen; algunos de ellos son:

x = 0 y y = 12, porque 0 +12 =12
x = 8 y y = 4, porque 8 + 4 = 12
x = -3 y y -15, porque -3 + 15 = 12
Este enunciado “un número es el doble de otro” se expresa x = 2y. Tal ecuación también acepta una infinidad de soluciones. Por ejemplo:

Si dos números suman 12 y además uno es el doble del otro ¿Cuáles son esos números? Es decir, ¿Qué números satisfacen las ecuaciones x + y = 12 y x = 2y al mismo tiempo? En este caso, sólo una pareja (x, y) satisface simultáneamente ambas ecuaciones, esta pareja es (8,4).
A continuación se grafican en el plano los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación x + y = 12, y los puntos (x, y) que satisfacen la condición x = 2y:


Ambas rectas se cruzan en el punto de coordenadas (8, 4). Entonces los valores x = 8 y y = 4 satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones x + y = 12 y x = 2y.
Si se grafican dos rectas en el plano cartesiano, se presentará una de éstas tres posibilidades:

a) Las rectas se cortan en un punto. Por ejemplo, las gráficas de y = x+1 y y = -x + 3 se cortan en el punto de coordenadas (1, 2).
Para comprobar que los valores x = 1 y y = 2 satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones, se realiza una sustitución:

b) Las rectas son paralelas y, por lo tanto nunca se cortan. Por ejemplo, las rectas y . En este caso, no hay una solución común para estas ecuaciones.
c) Las rectas coinciden. Por ejemplo, las rectas y coinciden. En este caso, todos los puntos de la recta satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema de dos ecuaciones lineales.
La pareja de números que satisface simultáneamente ambas ecuaciones se llama solución del sistema.
Un sistema de ecuaciones puede tener una sola solución, una infinidad de ellas o no tener ninguna, dependiendo de si las rectas que representan a las ecuaciones se cortan, coinciden o son paralelas.