EL GEOMETRISMO

El arte, en contraste con la ciencia, no mejora ni se supera con el tiempo, lo que hace es adoptar nuevas formas, técnicas, motivos e intenciones que se adecuan al contexto del lugar donde se produce. Arnold Hauser, autor del célebre “Historia social de la literatura y el arte” afirma que el geometrismo, es decir, la representación estilizada y no fiel a la naturaleza fue el segundo estilo artístico (y no el primero, como suele creerse) imperante en la sociedad prehistórica. El geometrismo se guiaba por la abstracción y la simplificación: en lugar de representar un cuerpo humano detallado, lo simbolizaba con círculos y líneas que equivalían a su tronco, su cabeza y su8s extremidades; serio contraste con su antecesor, el naturalismo, que apostaba por la reproducción paciente de su modelo.
El cambio en el estilo artístico imperante está relacionado con la revolución social que ocurrió en este periodo, el Neolítico, lo cual condujo al sedentarismo, la agricultura y la domesticación de animales. Una de las implicaciones más importantes de esta expresión artística radica en el hecho de que el hombre se confronta con la naturaleza y deja de verla como una imagen continua de una esencia homogénea, pues comprende la diferencia entre las ideas y la realidad, el espíritu y el cuerpo, el alma y la forma, consecuencia de la creencia generalizada en el animismo, que atribuye poderes a los objetos de la naturaleza y asume la existencia de espíritus que animan todas las cosas.
En nuestros días, clasificar el arte contemporáneo en un estilo específico y con características delimitadas resulta tan complejo que, de hecho, no existe una palabra para definir el arte actual: conviven términos como posmodernismo y neo barroquismo, que son defendidos por los expertos en igualdad de proporciones.
Lo que sigue siendo cierto es que el empleo de figuras y motivos geométricos no ha cesado y sus implicaciones pueden darnos mucha idea de la forma de pensar del género humano. Vale la pena tomarse un tiempo para observar el Arte a nuestro alrededor y preguntarnos por sus motivaciones, su historia y su futuro.
Observa las representaciones artísticas de las siguientes imágenes y discutan su procedencia cultural y su fecha de creación.

¿Cuál te gustó más? ¿Cuál te gustó menos? ¿Por qué?

¿Crees que alguna sea de origen mexicano?

Realiza la siguiente actividad:

Escoge un edificio, una pintura, una artesanía algún otro objeto artístico que posea figuras geométricas o que emplee la geometría para su elaboración.
Investiga cuáles son sus propiedades como creación artística y por qué se le considera valiosa.
Realiza una búsqueda de información sobre cuáles elementos de la geometría se ocupan en su diseño, su comprensión y su descripción.

LA GEOMETRÍA ANALÍTICA, ¿QUÉ ES Y POR QUÉ SE ESTUDIA?

La geometría analítica es la rama de la ciencia matemática encargada de estudiar los fenómenos geométricos a través del análisis, ya sea de manera sistemática o estableciendo de manera estrecha un vínculo con el álgebra.
Durante aproximadamente dos milenios, la Geometría Analítica se ha estudiado de manera sistemática a partir de la primera obra completa de este tema “Los elementos”, escrita por Euclides en el año 300 a. C. hasta el siglo XVII, la geometría se estudiaba mediante lo que se llamaba “método sintético” el cual estaba fundamentado en una estructura axiomática constituida por axiomas, postulados, definiciones, teoremas, corolarios y lemas. Dejando atrás las aplicaciones concretas, la resolución de problemas se posiciona como meta del aprendizaje matemático.
Una revolución de pensamiento, y en particular del pensamiento matemático a inicios del siglo XVII, dio como resultado un nuevo enfoque en el estudio de la Geometría, consistente en el uso de los métodos algebraicos para dar solución a problemas geométricos. René Descartes, filósofo y matemático Francés, estableció el nexo entre Geometría y Álgebra mediante los sistemas de coordenadas.

¿POR QUÉ SE ESTUDIA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA?

Una de las razones más importantes para el estudio de la Geometría Analítica es la potencia de sus métodos. Ciertos problemas pueden resolverse de una manera más rápida, directa y simple mediante los métodos analíticos. Esto es cierto no solamente para los problemas propios de la Geometría y de otras ramas de las matemáticas, sino también para una amplia variedad de aplicaciones de la Estadística, la Física, la Ingeniería y otros campos científicos y técnicos.
El uso de métodos algebraicos para resolver problemas geométricos permite generalizaciones fáciles. A menudo, un resultado que se obtiene para una o dos dimensiones puede generalizarse inmediatamente para tres o más.
Estudiar Geometría Analítica ofrece mayores posibilidades de comprender la coherencia del tema, la diversidad de los métodos y la amplia variedad de problemas a los que puede aplicarse esta disciplina.

PUNTOS EN EL PLANO

El siguiente es un sistema de coordenadas lineal:

Si localizamos sobre el sistema el punto Q, ubicado a tres unidades de distancia a la derecha del origen marcado por el punto O, y el punto R, ubicado a tres unidades de distancia a la izquierda de O, se representaría de la siguiente manera:

Observamos que los puntos R, O y Q sólo necesitan un valor para ubicar su posición sobre la recta numérica, es decir, su posición queda determinada por coordenadas con una entrada. La notación para simbolizar las coordenadas es la siguiente: R(-3), O(0) y Q(3), en donde las letras R, O y Q identifican los puntos, y los números entre paréntesis -3, 0 y 3 son las posiciones de esos puntos sobre la recta. A este tipo de puntos se les llama unidimensionales.

En general, un punto unidimensional P tiene su coordenada de la forma x, donde x representa la distancia del origen O hasta P, cuyo valor será negativo si P se encuentra a la izquierda de O, y positivo si está ubicado a su derecha. Además, el valor de x puede estar determinado por cualquier número real, a sea entero, racional o irracional.

EL PLANO CARTESIANO (CONCEPTOS BÁSICOS)

Un pirata escondió un tesoro en una isla desierta y escribió en un mapa las siguientes indicaciones para localizarlo:
“Partir del cocotero más alto del centro de la isla, caminar 10 pasos al norte, se llegará donde está una piedra redonda. Después avanzar 25 pasos al este, hasta la cascada. Con dirección al norte, caminar 5 pasos para llegar al árbol caído. Por último, avanzar 40 pasos hacia el Oeste hasta la cueva. El tesoro se encuentra enterrado ahí”.

Con indicaciones como las anteriores, es difícil encontrar el tesoro ¿cómo podría dar instrucciones más claras? Las respuestas es del matemático francés René Descartes (1596-1650); la dio hace casi 400 años, y fue la siguiente: es posible dar instrucciones claras con un sistema para ubicar puntos en un plano. La idea de descartes se llama “plano cartesiano” o “plano coordenado” y consiste en esto:
Se dibujan dos rectas numéricas perpendiculares, una de ellas horizontal. El punto de intersección de las rectas es el cero de ambas y se llama origen.

Cualquier punto del plano está determinado por una sola pareja de números (x, y). Estos números reciben el nombre de “coordenadas” del punto. Inversamente, cada pareja de coordenadas determina un solo punto en el plano.


En la figura anterior, el punto del plano marcado con la letra P tiene asignadas las coordenadas (3, 2). La primera coordenada se llama abscisa, y la segunda, ordenada. Las coordenadas se escriben siempre en le mismo orden; es decir, primero la abscisa y luego la ordenada.

La recta numérica horizontal se llama “eje de las abscisas” o “eje x”. A los puntos que pertenecen a esta recta les corresponden ordenadas iguales que cero. Por ejemplo, al punto 1 del eje x, les corresponden las coordenadas (1, 0) y al punto -2, las coordenadas (-2, 0).
La recta vertical se llama “eje de las ordenadas” o “eje y”. Las abscisas de los puntos de esta recta son cero. Por ejemplo, los puntos representados por (0, 1) y (0, 2) pertenecen al eje y.
Un punto de coordenadas (x, y) se localiza de la siguiente forma:

1. Se traza la recta vertical imaginaria que pase por el punto (x, 0).





2. Se traza la recta horizontal que pase por el punto (0, y). La intersección de las rectas es el punto buscado.
   

El punto de coordenadas (3, -5), es la intersección de la recta vertical que pasa por (3, 0) con la recta horizontal que pasa por (0, -5).
Mediante el plano cartesiano es más sencillo describir la ubicación del tesoro escondido del pirata. Tómese como el origen de coordenadas el lugar donde se encuentra el cocotero más alto del centro de la isla. Las indicaciones del mapa se pueden expresar así; A partir del punto de coordenadas (0, 0), seguir el trayecto que pasa por estos puntos: (0, 10), (25, 10), (25, 15) y, por último, (-15, 15). En el último punto se encuentra enterrado el tesoro.

REGIONES Y CONJUNTO DE PUNTOS

En esta lección se localizarán puntos que, por compartir ciertas características, forman regiones en el plano. Por ejemplo, los puntos del plano cuya abscisa es positiva, es decir, lo puntos del plano coordenados (x, y) tales que x>0 conforman una región del plano. Esta región se ilustra en la siguiente figura:

Cualquier punto con abscisa positiva está en la región; por ejemplo, los puntos de coordenadas (2, 4) y (5, -3).
Los puntos del plano cuyas abscisas y ordenadas son positivas, es decir, los puntos de coordenadas (x, y) con x>0 y y>0conforman la región sombreada de la siguiente figura. A esta región se le llama primer cuadrante del plano cartesiano. Por ejemplo, el punto de coordenadas (1, 2) está en el primer cuadrante.

• El segundo cuadrante o cuadrante II es la región formada por los punto de coordenadas (x, y) tales que x<0 y y>0.






• El tercer cuadrante o cuadrante III consta de los puntos (x, y), que cumplen que x<0 y y<0.






• El cuarto cuadrante o cuadrante IV está formado por los puntos (x, y) con x>0 y y<0.
  
  ¿Cuál es la región formada por los puntos de coordenadas (x, y) que satisfacen la condición x>3 y y es cualquier número? Es la zona constituida por los puntos que están a la derecha de la recta vertical que pasa por el punto (3, 0).
  ¿Cuál es la región formada por los puntos de coordenadas (x, y) tales que y <2? (el símbolo

significa mayor o igual.) Es la región que se encuentra a la derecha de la recta vertical que pasa por (-3, 0), incluida la recta, y por debajo de la recta horizontal que pasa por (0, 2).

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El enunciado “Dos números sumas 12” se escribe así en lenguaje algebraico:

x + y = 12

Esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, es decir, existe un número infinito de valores x y y que la satisfacen; algunos de ellos son:

x = 0 y y = 12, porque 0 +12 =12
x = 8 y y = 4, porque 8 + 4 = 12
x = -3 y y -15, porque -3 + 15 = 12
Este enunciado “un número es el doble de otro” se expresa x = 2y. Tal ecuación también acepta una infinidad de soluciones. Por ejemplo:

Si dos números suman 12 y además uno es el doble del otro ¿Cuáles son esos números? Es decir, ¿Qué números satisfacen las ecuaciones x + y = 12 y x = 2y al mismo tiempo? En este caso, sólo una pareja (x, y) satisface simultáneamente ambas ecuaciones, esta pareja es (8,4).
A continuación se grafican en el plano los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación x + y = 12, y los puntos (x, y) que satisfacen la condición x = 2y:


Ambas rectas se cruzan en el punto de coordenadas (8, 4). Entonces los valores x = 8 y y = 4 satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones x + y = 12 y x = 2y.
Si se grafican dos rectas en el plano cartesiano, se presentará una de éstas tres posibilidades:

a) Las rectas se cortan en un punto. Por ejemplo, las gráficas de y = x+1 y y = -x + 3 se cortan en el punto de coordenadas (1, 2).
Para comprobar que los valores x = 1 y y = 2 satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones, se realiza una sustitución:

b) Las rectas son paralelas y, por lo tanto nunca se cortan. Por ejemplo, las rectas y . En este caso, no hay una solución común para estas ecuaciones.
c) Las rectas coinciden. Por ejemplo, las rectas y coinciden. En este caso, todos los puntos de la recta satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema de dos ecuaciones lineales.
La pareja de números que satisface simultáneamente ambas ecuaciones se llama solución del sistema.
Un sistema de ecuaciones puede tener una sola solución, una infinidad de ellas o no tener ninguna, dependiendo de si las rectas que representan a las ecuaciones se cortan, coinciden o son paralelas.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS UNIDIMENSIONALES

Observa los dos puntos unidimensionales F (-3) y G (4) en el siguiente sistema de coordenadas lineal.

¿Cómo se puede determinar la distancia entre F y G? De manera práctica, a través del conteo de espacios entre F y G podemos calcular que la distancia entre ellos es de 7 unidades de longitud, sin embargo, cuando buscamos la diferencia entre dos unidades, por ejemplo 5 y 2, lo que hacemos es restar 5 – 2 = 3, ¿Pero esto aplica también a las coordenadas? Tenemos dos alternativas para realizar la resta:

Primero:

(-36)-(4)=-7

Segundo:

(4)-(-3)=7

En efecto, la dirección en que se realice la medición influye en el signo del resultado. En la asignatura de física comprenderás mejor la diferencia entre dos conceptos que normalmente confundidos: desplazamiento y distancia. Mientras que el desplazamiento es una magnitud vectorial y, por ello, necesita de una dirección y un sentido, la distancia entre dos puntos es considerada una magnitud escalar, y se define como la longitud del segmento de recta cuyos extremos son dichos puntos. Así la distancia no requiere de una dirección para ser determinada.

Por ejemplo, en un viaje Puebla=Cuernavaca o Cuernavaca-Puebla, la distancia aproximada a recorres es de 250 Km, y será la misma si se viaja por la misma ruta tanto de ida como de regreso; sin embargo, el desplazamiento es distinto, pues aunque la distancia recorrida sea la misma, el punto de partida y de llegada se invierten y, obviamente, el resultado no es el mismo.
Entonces, si consideramos el valor absoluto de las diferencias anteriores, obtenemos:

Podemos conjeturar que la distancia entre dos puntos unidimensionales P(x1) y Q(x2) se puede obtener con el cálculo de

donde la expresión

se lee “La distancia entre los puntos P y Q”.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS BIDIMENCIONALES

Imagina que tienes ahora A (2,1) y B (5,4), dos puntos bidimensionales. ¿Cómo se puede determinar la distancia entre ellos?
Observa el diagrama de la figura el cual está trazado en un plano cartesiano. Nota que se ha dibujado un triángulo-rectángulo a partir de los dos puntos dados. Esta forma de representación permite el cálculo de la distancia entre los puntos, porque sólo hay que determinar la longitud de la hipotenusa del triángulo.
Analicemos:
La magnitud de la base del triángulo que se formó está determinada por: 5-2=3.
La altura del triángulo está determinada por: 4-1=3.
Como observamos, se trata de un triángulo-rectángulo, por lo que se puede aplicar el Teorema de Pitágoras, con lo que se obtiene:

Por lo tanto:
De manera general, dado los puntos cualesquiera en el plano cartesiano:

el segmento


representa la hipotenusa de un triángulo-rectángulo cuyos catetos están determinados por sus proyecciones horizontal y vertical.

La diferencia entre sus abscisas representa la longitud del cateto horizontal:

la diferencia entre sus ordenadas, la longitud del cateto vertical:

Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos:
Así la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos es:

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Imaginemos que debemos encontrar las coordenadas del punto P(x, y), si P divide al segmento AB en la razón r de tal manera que:

sabiendo que: A(-3, 1) y B(2, -3).

Primero es necesario que recordemos las dos maneras que existen para comparar dos cantidades: la distancia o resta y la razón.
Para entender el concepto de diferencia y razón, observa el siguiente ejemplo:
Leonel tiene 10 años y su papá 40. Si atiende la diferencia entre ambas edades, tenemos como resultado 30 años. Pero si se tiene la razón entre ambas edades, tenemos dos cocientes:

Es decir, el papá de Leonel tiene el cuádruple de la edad que su hijo o

es decir, Leonel tiene la cuarta parte de la edad de su papá.

La razón es la manera de comparar dos cantidades a través del cociente.
Cuando se tiene un segmento determinado por sus puntos extremos, cualquier punto entre ellos los divide en dos segmentos de igual o distinta longitud. En este caso compararemos las longitudes de estos segmentos a través de la razón.
Analicemos: ¿qué significa que r = 1?, o ¿Qué significa que r = 2?

Nótese que el punto Q divide en dos segmentos a

En cuanto a distancias, tenemos que:

Es decir, comparamos los segmentos

Así, r = 1 significa la comparación entre dos segmentos de igual longitud.
La expresión r = 2 significa que se están comparando dos segmentos, uno de los cuales tiene el doble de longitud que el otro. Observa en el plano cartesiano el siguiente ejemplo de esta comparación:







En general, para cualquier valor de r, las fórmulas para calcular las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón r dada son:

PUNTO MEDIO Y LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO

Si se sabe que los extremos de un segmento de recta son (3,-1), y las del punto medio (-2,2), ¿Cómo se encuentran las coordenadas del otro extremo?
Para el punto medio r=1, las fórmulas para calcular sus coordenadas son:

Despejando las coordenadas de uno de los extremos, queda:

Sustituyendo los datos del planteamiento, se tiene:

Por lo tanto, el otro lado del segmento es: ____
Ahora realiza la representación gráfica de este problema en un plano cartesiano en tu libreta.

ANGULO DE INCLINACIÓN VERSUS PENDIENTE

Los conceptos ángulo de inclinación y pendiente de una recta se encuentran estrechamente relacionados: ambos dan referencia de la inclinación que guarda una recta respecto de la horizontal.

Recordemos la razón tangente de la trigonometría básica tomando en cuenta que relaciona a ambos catetos:

Por lo tanto:

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN POLÍGONO

A lo largo de su evolución, la humanidad ha manifestado su capacidad arquitectónica en diversas construcciones, tales como: las pirámides en diversas partes del mundo, en particular las de Chiapas; La edificación de cientos de iglesias en los siglos XVI, XVII y XVIII; espacios deportivos como el primer estadio techado en la ciudad de Houston, el Astrodome, la Estación Espacial Internacional puesta en órbita en 1998 da muestras del avance científico tecnológico no solo en la arquitectura sino también en áreas como son las de telecomunicaciones y la electrónica; y, actualmente, observar la torra más alta del mundo construida en Dubai, con más de 800 metros de altura, ratifica el desarrollo del ser humano en su capacidad de concretar sus ideas, hacer realidad su imaginación y demostrar que cada vez puede superarse a través del esfuerzo y el trabajo sostenido.
De acuerdo a las imágenes anteriores y otras tantas que logres recordar, reflexiona y contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Habrá sido necesaria la planeación y diseño de construcciones como las ilustradas?




2. ¿Qué tipo de conocimientos serán indispensables para lograr esas edificaciones?




3. ¿La matemática, y en particular, la Geometría estarán involucradas?




4. ¿Calcular con precisión el perímetro y área de las distintas figuras geométricas utilizadas en los escalones de las pirámides, en las fachadas de las iglesias, en el techo de un estadio o en los paneles de la Estación Espacial Internacional o de la torre de Dubái habrá sido un procedimiento importante?




5. Definitivamente, determinar con precisión el perímetro y área de distintos objetos con forma poligonal es un procedimiento importante. Piensa en el ensamble de miles de piezas necesarias para construir un automóvil, ¿Qué pasaría si un espejo retrovisor tiene un error en el corte de 3 o más centímetros cuadrados o si el área de una puerta falla y queda más grande o pequeña que el espacio considerado para ella?

POLIGONOS

Dentro de la Geometría, el estudio de las distintas propiedades de los polígonos juega un papel importante en la resolución de problemas cotidianos, algunos de mayor relevancia como la construcción de grandes edificaciones u otros con menor relevancia como el corte preciso de los rectángulos de las hojas para conformar un libro.
Recordemos las raíces etimológicas de la palabra polígono: poli, muchos; y gono, ángulo. Una definición aceptada de polígono es: figura geométrica cerrada formada por al menos 3 lados consecutivos. Un lado es considerado un segmento de recta no alineado con otro. El polígono con menor número de lados es un triángulo.
Para determinar el Perímetro de un polígono basta calcular la suma o total de las longitudes de los lados que le componen. Para el área existen alternativas como el uso de la fórmula de Herón para triángulos o la aplicación de determinantes para polígonos con mayor número de lados.

CALCULO DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO CON LA FÓRMULA DE HERÓN

Herón de Alejandría (10-70 d.C.), reconocido matemático griego, destacó por sus aportaciones geométricas, entre ellas, quizás la más conocida es la fórmula que lleva su nombre y sirve para calcular el área de cualquier triángulo sabiendo la medida de sus tres lados, en ella no se necesita saber la longitud de la altura.

donde s es el semi perímetro del triángulo dado por:

Ejemplo:
Determinemos por la fórmula de Herón el área del triángulo cuyos vértices se sitúan en los puntos: A(2, 0); B(-3, 5); C(3, 2)
Primero, al situar los puntos A, B y C en un plano cartesiano, observemos el siguiente triángulo.

De las secciones anteriores, sabemos que el cálculo de la distancia entre dos puntos está determinada por:

Calculando la longitud de los lados:

Nota que se trata de un triángulo con sus tres lados de distinta longitud, es decir, se trata de un triángulo escaleno.
El semi perímetro del triángulo queda dado por:

Por lo tanto, sustituyendo en la fórmula de Herón, obtenemos: